虚数解から係数と他の解を決める（A）

$x=1+2i$ を代入する．$(1+2i)^2=-3+4i$，$(1+2i)^3=(-3+4i)(1+2i)=-11-2i$ であるから \[ (-11-2i)+a(-3+4i)+b(1+2i)+10=0 \] 整理して $(-1-3a+b)+(-2+4a+2b)i=0$．$a,\ b$ は実数であるから \[ -1-3a+b=0,\qquad -2+4a+2b=0 \] これを解いて $a=0,\ b=1$ このとき方程式は $x^3+x+10=0$．実数係数の方程式であるから $1-2i$ も解であり，$(x-1-2i)(x-1+2i)=x^2-2x+5$ で左辺は割り切れて \[ (x^2-2x+5)(x+2)=0 \] よって，他の解は $x=1-2i,\ -2$