x²+x+1 で割った余り（ω の利用）（B）

$x^2+x+1=0$ の解の 1 つを $\omega$ とすると，$\omega^2+\omega+1=0$ であり，$\omega^3-1=(\omega-1)(\omega^2+\omega+1)=0$ より $\omega^3=1$．いずれも商を $Q(x)$，余りを $ax+b$（$a,\ b$ は実数）とおき，$x=\omega$ を代入する． (1) $\omega^{80}=(\omega^3)^{26}\omega^2=\omega^2=-\omega-1$ であるから \[ a\omega+b=-\omega-1 \quad\text{すなわち}\quad (a+1)\omega+(b+1)=0 \] $\omega$ は虚数であるから $a=-1,\ b=-1$．余りは $-x-1$ (2) $\omega^{31}=(\omega^3)^{10}\omega=\omega$，$\omega^{17}=(\omega^3)^5\omega^2=\omega^2$ であるから \[ a\omega+b=\omega+\omega^2+2=1 \] よって $a\omega+(b-1)=0$．$\omega$ は虚数で $a,\ b-1$ は実数であるから $a=0,\ b=1$．余りは $1$