x²+x+1 で割った余り（ω の利用）（A）

$x^2+x+1=0$ の解の 1 つを $\omega$ とすると，$\omega^2+\omega+1=0$ であり，$\omega^3-1=(\omega-1)(\omega^2+\omega+1)=0$ より $\omega^3=1$ である． また，$(\omega^2)^2+\omega^2+1=\omega^3\cdot\omega+\omega^2+1=\omega+\omega^2+1=0$ であるから $\omega^2$ も解であり，$\omega\neq 0,\ 1$ より $\omega^2\neq\omega$ であるから，もう 1 つの解は $\omega^2$ である． (1) 商を $Q(x)$，余りを $ax+b$（$a,\ b$ は実数）とおくと \[ x^{100}=(x^2+x+1)Q(x)+ax+b \] $x=\omega$ を代入すると $\omega^{100}=a\omega+b$．$\omega^{100}=(\omega^3)^{33}\omega=\omega$ であるから \[ a\omega+b=\omega \quad\text{すなわち}\quad (a-1)\omega+b=0 \] $\omega$ は虚数で $a-1,\ b$ は実数であるから $a=1,\ b=0$．よって，余りは $x$ (2) $P(x)=x^{50}+x^{25}+1$ とおくと \[ P(\omega)=(\omega^3)^{16}\omega^2+(\omega^3)^8\omega+1=\omega^2+\omega+1=0 \] 同様に $P(\omega^2)=\omega^{100}+\omega^{50}+1=\omega+\omega^2+1=0$． よって $P(x)$ は $x-\omega$ と $x-\omega^2$ を因数にもち，$(x-\omega)(x-\omega^2)=x^2+x+1$ で割り切れる． \hfill 〔証明終〕