ω の性質（ω²+ω+1=0, ω³=1）（B）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/24
🔁 類題: ω の性質（ω²+ω+1=0, ω³=1）（A） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
1 の 3 乗根のうち虚数であるものの 1 つを $\omega$ とする．次の式の値を求めよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $\omega^{100}+\omega^{50}$
\item[(2)] $(1-\omega)(1-\omega^2)$
\item[(3)] $(1+\omega^2)^3$
\item[(4)] $\overline{\omega}$ を $\omega$ を用いて表せ（$\overline{\omega}$ は $\omega$ と共役な複素数）．
\end{enumerate}
$x^3=1$ より $(x-1)(x^2+x+1)=0$ であるから，$\omega$ は $x^2+x+1=0$ の解である．よって，$\omega^3=1$，$\omega^2+\omega+1=0$
(1) $\omega^{100}=(\omega^3)^{33}\omega=\omega$，$\omega^{50}=(\omega^3)^{16}\omega^2=\omega^2$．よって，与式 $=\omega+\omega^2=-1$
(2) $(1-\omega)(1-\omega^2)=1-(\omega+\omega^2)+\omega^3=1+1+1=3$
(3) $1+\omega^2=-\omega$ であるから，$(1+\omega^2)^3=(-\omega)^3=-1$
(4) $x^2+x+1=0$ は実数係数の方程式であるから，$\omega$ と共役な $\overline{\omega}$ ももう 1 つの解である．解と係数の関係より $\omega\overline{\omega}=1$ であるから
\[ \overline{\omega}=\frac{1}{\omega}=\frac{\omega^3}{\omega}=\omega^2 \]
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