ω の性質（ω²+ω+1=0, ω³=1）（A）

(1) $x^3=1$ より $(x-1)(x^2+x+1)=0$．よって \[ x=1,\quad \frac{-1\pm\sqrt{3}\,i}{2} \] (2) $\omega$ は $x^3=1$ の虚数解であるから，(1) より $x^2+x+1=0$ の解である．よって \[ \omega^3=1,\qquad \omega^2+\omega+1=0 \] (ア) $\omega^{10}=(\omega^3)^3\omega=\omega$，$\omega^5=\omega^3\cdot\omega^2=\omega^2$ であるから \[ \omega^{10}+\omega^5+1=\omega+\omega^2+1=0 \] (イ) $\dfrac{1}{\omega}=\dfrac{\omega^3}{\omega}=\omega^2$，$\dfrac{1}{\omega^2}=\omega$ であるから，与式 $=\omega^2+\omega=-1$ (ウ) $1+\omega=-\omega^2$ であるから \[ (1+\omega)^5=(-\omega^2)^5=-\omega^{10}=-\omega \]