割り算を使って高次式の値を求める（A）

$x=1+\sqrt{2}$ より $x-1=\sqrt{2}$．両辺を 2 乗して $x^2-2x+1=2$，すなわち \[ x^2-2x-1=0 \] $P(x)$ を $x^2-2x-1$ で割ると，商 $x^2$，余り $4x+2$ であるから \[ P(x)=(x^2-2x-1)x^2+4x+2 \] よって \[ P(1+\sqrt{2})=0+4(1+\sqrt{2})+2=6+4\sqrt{2} \]