xⁿ を2次式で割った余り（B）

(1) 商を $Q(x)$，余りを $ax+b$（$a,\ b$ は実数）とおくと \[ x^{50}=(x^2+1)Q(x)+ax+b \] $x=i$ を代入すると，$i^2+1=0$ であるから \[ i^{50}=ai+b \] $i^{50}=(i^2)^{25}=-1$ であるから $b+ai=-1$．$a,\ b$ は実数であるから $a=0,\ b=-1$．よって，余りは $-1$ (2) $x=(x+1)-1$ と考えて二項定理を用いると \[ x^{20}=\{(x+1)-1\}^{20}=(-1)^{20}+{}_{20}\mathrm{C}_1(x+1)(-1)^{19}+{}_{20}\mathrm{C}_2(x+1)^2(-1)^{18}+\cdots \] 第 3 項以降はすべて $(x+1)^2$ で割り切れるから，余りは \[ 1-20(x+1)=-20x-19 \]