xⁿ を2次式で割った余り（A）

(1) $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$．商を $Q(x)$，余りを $ax+b$ とおくと \[ x^{100}=(x-1)(x-2)Q(x)+ax+b \] $x=1,\ 2$ を代入して \[ 1=a+b,\qquad 2^{100}=2a+b \] よって $a=2^{100}-1$，$b=2-2^{100}$．余りは $(2^{100}-1)x+2-2^{100}$ (2) $(x-1)^2$ で割る場合は $x=1$ しか代入できないので，$x=(x-1)+1$ と考えて二項定理を用いる． \[ x^{100}=\{(x-1)+1\}^{100}=1+{}_{100}\mathrm{C}_1(x-1)+{}_{100}\mathrm{C}_2(x-1)^2+\cdots+(x-1)^{100} \] 第 3 項以降はすべて $(x-1)^2$ で割り切れるから，余りは \[ 1+100(x-1)=100x-99 \]