2次式で割った余りを利用して3次式で割った余りを求める（B）

$P(x)$ を $(x^2+1)(x-1)$ で割った商を $Q(x)$，余りを $R(x)$（2 次以下）とすると \[ P(x)=(x^2+1)(x-1)Q(x)+R(x) \] $(x^2+1)(x-1)Q(x)$ は $x^2+1$ で割り切れるから，$P(x)$ を $x^2+1$ で割った余りは $R(x)$ を $x^2+1$ で割った余りに等しい．これが $x+2$ であり，$R(x)$ は 2 次以下であるから \[ R(x)=a(x^2+1)+x+2 \] とおける．$P(1)=5$ より $R(1)=2a+3=5$，よって $a=1$．したがって \[ R(x)=x^2+1+x+2=x^2+x+3 \]