2次式で割った余りを利用して3次式で割った余りを求める（A）

3 次式で割った余りは 2 次以下である．$P(x)$ を $(x-1)^2(x+2)$ で割った商を $Q(x)$，余りを $R(x)$ とすると \[ P(x)=(x-1)^2(x+2)Q(x)+R(x) \] $(x-1)^2(x+2)Q(x)$ は $(x-1)^2$ で割り切れるから，$P(x)$ を $(x-1)^2$ で割った余りは，$R(x)$ を $(x-1)^2$ で割った余りに等しい．これが $2x+3$ であり，$R(x)$ は 2 次以下であるから \[ R(x)=a(x-1)^2+2x+3 \] とおける．$P(-2)=8$ より $R(-2)=9a-1=8$，よって $a=1$．したがって \[ R(x)=(x-1)^2+2x+3=x^2+4 \]