剰余の定理で係数を決める（A）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/24
🔁 類題: 剰余の定理で係数を決める（B） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
\begin{enumerate}
\item[(1)] 多項式 $P(x)=x^3+ax^2-4x+3$ を $x-2$ で割った余りが $7$ であるとき，定数 $a$ の値を求めよ．
\item[(2)] 多項式 $P(x)=x^3+ax^2+bx-6$ が $x-1$ でも $x+2$ でも割り切れるとき，定数 $a,\ b$ の値を求めよ．
\end{enumerate}
剰余の定理「$P(x)$ を $x-k$ で割った余りは $P(k)$」と，因数定理「$P(k)=0$ であることと，$P(x)$ が $x-k$ で割り切れることは同値」を用いる．
(1) $P(2)=8+4a-8+3=4a+3=7$ より $a=1$
(2) $P(1)=0$，$P(-2)=0$ であるから
\[ 1+a+b-6=0,\qquad -8+4a-2b-6=0 \]
すなわち $a+b=5$，$2a-b=7$．これを解いて $a=4,\ b=1$
（このとき $P(x)=x^3+4x^2+x-6=(x-1)(x+2)(x+3)$ である．）
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