2解がともに正・異符号になる条件（A）

2 つの解を $\alpha,\ \beta$，判別式を $D$ とする．$\alpha+\beta=2m$，$\alpha\beta=m+6$ (1) 異なる 2 つの正の解をもつ条件は，$D>0$，$\alpha+\beta>0$，$\alpha\beta>0$ である． \[ \frac{D}{4}=m^2-m-6=(m+2)(m-3)>0 \quad\text{より}\quad m<-2,\ 3<m \] \[ \alpha+\beta=2m>0 \quad\text{より}\quad m>0,\qquad \alpha\beta=m+6>0 \quad\text{より}\quad m>-6 \] 共通範囲を求めて $m>3$ （グラフで考えると，$f(x)=x^2-2mx+m+6$ のグラフが $x$ 軸の正の部分と異なる 2 点で交わる条件で，下図のように「$D>0$，軸 $x=m>0$，$f(0)>0$」と同じ結果になる．） (2) 正の解と負の解をもつ条件は $\alpha\beta<0$（このとき $D>0$ は自動的に成り立つ）． \[ m+6<0 \quad\text{より}\quad m<-6 \]