α², β² などを解とする方程式をつくる（B）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/24
🔁 類題: α², β² などを解とする方程式をつくる（A） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
2 次方程式 $2x^2+4x+3=0$ の 2 つの解を $\alpha,\ \beta$ とするとき，次の 2 数を解とする 2 次方程式を 1 つ作れ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $\alpha-2,\ \beta-2$
\item[(2)] $\alpha^2,\ \beta^2$
\item[(3)] $\dfrac{\beta}{\alpha},\ \dfrac{\alpha}{\beta}$
\end{enumerate}
解と係数の関係より $\alpha+\beta=-2$，$\alpha\beta=\dfrac{3}{2}$
(1) 和 $=(\alpha+\beta)-4=-6$，積 $=\alpha\beta-2(\alpha+\beta)+4=\dfrac{3}{2}+4+4=\dfrac{19}{2}$．
\[ x^2+6x+\frac{19}{2}=0 \quad\text{すなわち}\quad 2x^2+12x+19=0 \]
(2) 和 $=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=4-3=1$，積 $=(\alpha\beta)^2=\dfrac{9}{4}$．
\[ x^2-x+\frac{9}{4}=0 \quad\text{すなわち}\quad 4x^2-4x+9=0 \]
(3) 和 $=\dfrac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}=\dfrac{1}{\frac{3}{2}}=\dfrac{2}{3}$，積 $=1$．
\[ x^2-\frac{2}{3}x+1=0 \quad\text{すなわち}\quad 3x^2-2x+3=0 \]
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