解と係数の関係を使った式の値（B）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/24
🔁 類題: 解と係数の関係を使った式の値（A） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
2 次方程式 $x^2+2x+4=0$ の 2 つの解を $\alpha,\ \beta$ とするとき，次の式の値を求めよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $\alpha^2+\beta^2$
\item[(2)] $\alpha^3+\beta^3$
\item[(3)] $\alpha^{10}+\beta^{10}$
\end{enumerate}
解と係数の関係より $\alpha+\beta=-2$，$\alpha\beta=4$
(1) $\alpha^2+\beta^2=4-8=-4$
(2) $\alpha^3+\beta^3=(-2)^3-3\cdot 4\cdot(-2)=-8+24=16$
(3) $x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$ であるから，$\alpha^2+2\alpha+4=0$ より $\alpha^3-8=0$，すなわち $\alpha^3=8$．同様に $\beta^3=8$．よって
\[ \alpha^{10}+\beta^{10}=(\alpha^3)^3\alpha+(\beta^3)^3\beta=512(\alpha+\beta)=512\cdot(-2)=-1024 \]
（(2) も $\alpha^3+\beta^3=8+8=16$ と確かめられる．）
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