解と係数の関係を使った式の値（A）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/24
🔁 類題: 解と係数の関係を使った式の値（B） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
2 次方程式 $x^2-x+3=0$ の 2 つの解を $\alpha,\ \beta$ とするとき，次の式の値を求めよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $\alpha^5+\beta^5$
\item[(2)] $\dfrac{1}{\alpha^2}+\dfrac{1}{\beta^2}$
\item[(3)] $\dfrac{\alpha}{\beta+1}+\dfrac{\beta}{\alpha+1}$
\end{enumerate}
解と係数の関係より $\alpha+\beta=1$，$\alpha\beta=3$．これから
\[ \alpha^2+\beta^2=1-6=-5,\qquad \alpha^3+\beta^3=1-3\cdot 3\cdot 1=-8 \]
(1) $(\alpha^2+\beta^2)(\alpha^3+\beta^3)=\alpha^5+\beta^5+\alpha^2\beta^2(\alpha+\beta)$ であるから
\[ \alpha^5+\beta^5=(-5)(-8)-9\cdot 1=31 \]
(2) $\dfrac{1}{\alpha^2}+\dfrac{1}{\beta^2}=\dfrac{\alpha^2+\beta^2}{(\alpha\beta)^2}=-\dfrac{5}{9}$
(3) 通分すると
\[ \frac{\alpha(\alpha+1)+\beta(\beta+1)}{(\alpha+1)(\beta+1)}=\frac{(\alpha^2+\beta^2)+(\alpha+\beta)}{\alpha\beta+(\alpha+\beta)+1}=\frac{-5+1}{3+1+1}=-\frac{4}{5} \]
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