x, y の2次式が1次式の積になる条件（B）

与式を $x$ についての 2 次式とみて $=0$ とおくと \[ x^2-(y-1)x+(-2y^2+7y+k)=0 \] 判別式を $D$ とすると \[ D=(y-1)^2-4(-2y^2+7y+k)=9y^2-30y+1-4k \] 与式が 1 次式の積に分解されるためには，$D$ が $y$ の完全平方式となればよい．$D=0$ とおいた $y$ の 2 次方程式の判別式を $D'$ として \[ \frac{D'}{4}=225-9(1-4k)=216+36k=0 \quad\text{より}\quad k=-6 \] このとき $D=9y^2-30y+25=(3y-5)^2$ であるから \[ x=\frac{(y-1)\pm(3y-5)}{2} \quad\text{すなわち}\quad x=2y-3,\ \ -y+2 \] よって \[ x^2-xy-2y^2+x+7y-6=(x-2y+3)(x+y-2) \]