x, y の2次式が1次式の積になる条件（A）

与式を $x$ についての 2 次式とみて $=0$ とおくと \[ x^2+(3y-1)x+(2y^2-3y+k)=0 \] この $x$ についての方程式の判別式を $D$ とすると \[ D=(3y-1)^2-4(2y^2-3y+k)=y^2+6y+1-4k \] 解は $x=\dfrac{-(3y-1)\pm\sqrt{D}}{2}$ であり，与式が 1 次式の積に分解されるためには，$D$ が $y$ の 1 次式の完全平方式となればよい．よって，$D=0$ とおいた $y$ の 2 次方程式の判別式を $D'$ とすると，$D'=0$ となる条件から \[ \frac{D'}{4}=9-(1-4k)=8+4k=0 \quad\text{より}\quad k=-2 \] このとき $D=y^2+6y+9=(y+3)^2$ であるから \[ x=\frac{-(3y-1)\pm(y+3)}{2} \quad\text{すなわち}\quad x=-y+2,\ \ -2y-1 \] よって \[ x^2+3xy+2y^2-x-3y-2=(x+y-2)(x+2y+1) \]