複素数の範囲での因数分解（B）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/24
🔁 類題: 複素数の範囲での因数分解（A） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
次の式を，複素数の範囲で因数分解せよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $2x^2-2x+5$
\item[(2)] $x^4-3x^2-4$
\item[(3)] $x^4+4$
\end{enumerate}
(1) $2x^2-2x+5=0$ の解は $x=\dfrac{1\pm\sqrt{1-10}}{2}=\dfrac{1\pm 3i}{2}$．よって
\[ 2x^2-2x+5=2\left(x-\frac{1+3i}{2}\right)\left(x-\frac{1-3i}{2}\right) \]
(2) $x^4-3x^2-4=(x^2-4)(x^2+1)=(x+2)(x-2)(x+i)(x-i)$
(3) $x^4+4=(x^4+4x^2+4)-4x^2=(x^2+2)^2-(2x)^2=(x^2+2x+2)(x^2-2x+2)$
$x^2+2x+2=0$ の解は $x=-1\pm i$，$x^2-2x+2=0$ の解は $x=1\pm i$ であるから
\[ x^4+4=(x+1+i)(x+1-i)(x-1+i)(x-1-i) \]
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