α, β を解に代入して次数を下げる（B）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/24
🔁 類題: α, β を解に代入して次数を下げる（A） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
2 次方程式 $2x^2+x+3=0$ の 2 つの解を $\alpha,\ \beta$ とするとき，次の式の値を求めよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $(2\alpha^2+3\alpha+3)(2\beta^2+3\beta+3)$
\item[(2)] $(2\alpha^2+5)(2\beta^2+5)$
\end{enumerate}
$\alpha,\ \beta$ は方程式の解であるから
\[ 2\alpha^2=-\alpha-3,\qquad 2\beta^2=-\beta-3 \]
また $\alpha+\beta=-\dfrac{1}{2}$，$\alpha\beta=\dfrac{3}{2}$
(1) $2\alpha^2+3\alpha+3=(-\alpha-3)+3\alpha+3=2\alpha$，同様に $2\beta^2+3\beta+3=2\beta$ であるから
\[ (\text{与式})=4\alpha\beta=4\cdot\frac{3}{2}=6 \]
(2) $2\alpha^2+5=2-\alpha$，$2\beta^2+5=2-\beta$ であるから
\[ (\text{与式})=(2-\alpha)(2-\beta)=4-2(\alpha+\beta)+\alpha\beta=4+1+\frac{3}{2}=\frac{13}{2} \]
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