α, β を解に代入して次数を下げる（A）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/24
🔁 類題: α, β を解に代入して次数を下げる（B） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
2 次方程式 $x^2-3x+4=0$ の 2 つの解を $\alpha,\ \beta$ とするとき，次の式の値を求めよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $(\alpha^2-2\alpha+4)(\beta^2-2\beta+4)$
\item[(2)] $(\alpha^2-4\alpha+5)(\beta^2-4\beta+5)$
\end{enumerate}
$\alpha,\ \beta$ は方程式の解であるから
\[ \alpha^2=3\alpha-4,\qquad \beta^2=3\beta-4 \]
また，解と係数の関係より $\alpha+\beta=3$，$\alpha\beta=4$
(1) $\alpha^2-2\alpha+4=(3\alpha-4)-2\alpha+4=\alpha$，同様に $\beta^2-2\beta+4=\beta$ であるから
\[ (\text{与式})=\alpha\beta=4 \]
(2) $\alpha^2-4\alpha+5=(3\alpha-4)-4\alpha+5=1-\alpha$，同様に $\beta^2-4\beta+5=1-\beta$ であるから
\[ (\text{与式})=(1-\alpha)(1-\beta)=1-(\alpha+\beta)+\alpha\beta=1-3+4=2 \]
⭐ お気に入り 0
ログインするとお気に入り・印刷リスト・PDF出力が使えます