α²+β², α³+β³ などの値（B）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/24
🔁 類題: α²+β², α³+β³ などの値（A） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
2 次方程式 $x^2+3x+5=0$ の 2 つの解を $\alpha,\ \beta$ とするとき，次の式の値を求めよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $\alpha^2+\beta^2$
\item[(2)] $\alpha^3+\beta^3$
\item[(3)] $(\alpha-1)(\beta-1)$
\item[(4)] $\alpha^4+\beta^4$
\end{enumerate}
解と係数の関係より $\alpha+\beta=-3$，$\alpha\beta=5$
(1) $\alpha^2+\beta^2=(-3)^2-2\cdot 5=-1$
(2) $\alpha^3+\beta^3=(-3)^3-3\cdot 5\cdot(-3)=-27+45=18$
(3) $(\alpha-1)(\beta-1)=\alpha\beta-(\alpha+\beta)+1=5+3+1=9$
(4) $\alpha^4+\beta^4=(\alpha^2+\beta^2)^2-2(\alpha\beta)^2=1-50=-49$
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