虚数係数の方程式が実数解をもつ条件（A）

実数解を $x=\alpha$ とすると \[ (1+i)\alpha^2+(k+i)\alpha+3+3ki=0 \] 整理して $(\alpha^2+k\alpha+3)+(\alpha^2+\alpha+3k)i=0$．$\alpha,\ k$ は実数であるから \[ \alpha^2+k\alpha+3=0\quad\cdots\text{①},\qquad \alpha^2+\alpha+3k=0\quad\cdots\text{②} \] （虚数係数の方程式では判別式は使えないことに注意する．） ① $-$ ② より $(k-1)\alpha-3(k-1)=0$，すなわち $(k-1)(\alpha-3)=0$ $k=1$ のとき，① は $\alpha^2+\alpha+3=0$ となるが，判別式は $1-12<0$ で実数 $\alpha$ は存在しない． $\alpha=3$ のとき，① より $9+3k+3=0$ で $k=-4$（② も $9+3-12=0$ で成り立つ）． このとき方程式は $(1+i)x^2+(-4+i)x+3-12i=0$ で，$x=3$ を解にもつ．左辺は \[ (1+i)x^2+(-4+i)x+3-12i=(x-3)\{(1+i)x-1+4i\} \] と因数分解できる（右辺を展開すると左辺に一致する）．よって，もう 1 つの解は $(1+i)x-1+4i=0$ より \[ x=\frac{1-4i}{1+i}=\frac{(1-4i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{-3-5i}{2} \] したがって $k=-4$，解は $x=3,\ \dfrac{-3-5i}{2}$