2つの2次方程式の解の種類の組合せ（B）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/24
🔁 類題: 2つの2次方程式の解の種類の組合せ（A） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
$a$ は実数の定数とする．2 つの 2 次方程式
\[ x^2-2ax+a+6=0\quad\cdots\text{①},\qquad x^2+ax+a=0\quad\cdots\text{②} \]
について，次の条件を満たす $a$ の値の範囲を求めよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] ①，② の少なくとも一方が虚数解をもつ．
\item[(2)] ①，② がともに実数解をもつ．
\item[(3)] ①，② のどちらか一方だけが実数解をもつ．
\end{enumerate}
①，② の判別式をそれぞれ $D_1,\ D_2$ とすると
\[ \frac{D_1}{4}=a^2-a-6=(a+2)(a-3),\qquad D_2=a^2-4a=a(a-4) \]
$D_1<0$ となるのは $-2<a<3$ のとき，$D_2<0$ となるのは $0<a<4$ のときである（下図）．
(1) 2 つの範囲の和集合で $-2<a<4$
(2) (1) の否定であるから $a\leqq -2,\ 4\leqq a$
(3) 一方だけが実数解をもつのは，2 つの範囲の一方だけに含まれるときで
\[ -2<a\leqq 0,\quad 3\leqq a<4 \]
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