2つの2次方程式の解の種類の組合せ（A）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/24
🔁 類題: 2つの2次方程式の解の種類の組合せ（B） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
$a$ は実数の定数とする．2 つの 2 次方程式
\[ x^2+2ax+2a+3=0\quad\cdots\text{①},\qquad x^2+ax+1=0\quad\cdots\text{②} \]
について，次の条件を満たす $a$ の値の範囲を求めよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] ①，② がともに虚数解をもつ．
\item[(2)] ①，② の少なくとも一方が実数解をもつ．
\item[(3)] ①，② のどちらか一方だけが虚数解をもつ．
\end{enumerate}
①，② の判別式をそれぞれ $D_1,\ D_2$ とすると
\[ \frac{D_1}{4}=a^2-2a-3=(a+1)(a-3),\qquad D_2=a^2-4=(a+2)(a-2) \]
① が虚数解をもつ条件は $D_1<0$ より $-1<a<3$，② が虚数解をもつ条件は $D_2<0$ より $-2<a<2$（下図）．
(1) $-1<a<3$ と $-2<a<2$ の共通範囲で $-1<a<2$
(2) (1) の否定であるから $a\leqq -1,\ 2\leqq a$
(3) 2 つの範囲の一方だけに含まれる部分で
\[ -2<a\leqq -1,\quad 2\leqq a<3 \]
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