差をとっていくつかの式の大小を比べる（B）

$A=\dfrac{a+b}{2}$，$G=\sqrt{ab}$，$H=\dfrac{2ab}{a+b}$，$Q=\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}$ とおく．いずれも正である． $A-G=\dfrac{a-2\sqrt{ab}+b}{2}=\dfrac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{2}>0$ \quad（$a\neq b$） $G-H=\sqrt{ab}-\dfrac{2ab}{a+b}=\dfrac{\sqrt{ab}\,(a+b-2\sqrt{ab})}{a+b}=\dfrac{\sqrt{ab}\,(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{a+b}>0$ $Q^2-A^2=\dfrac{a^2+b^2}{2}-\dfrac{(a+b)^2}{4}=\dfrac{(a-b)^2}{4}>0$ で，$Q>0,\ A>0$ より $Q>A$ よって \[ \frac{2ab}{a+b}<\sqrt{ab}<\frac{a+b}{2}<\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \] （参考：下図のように，$\mathrm{AC}=a$，$\mathrm{CB}=b$ となる点 C を線分 AB 上にとり，AB を直径とする半円をかく．AB の中点を O，C を通り AB に垂直な直線と半円の交点を P，C から線分 OP に下ろした垂線と OP の交点を H とする．このとき，半径 $\mathrm{OP}=\dfrac{a+b}{2}$，$\mathrm{CP}=\sqrt{ab}$，$\mathrm{PH}=\dfrac{2ab}{a+b}$ となる．直角三角形 OCP，PHC では斜辺がほかの辺より長いから $\mathrm{PH}<\mathrm{CP}<\mathrm{OP}$ であり，$\dfrac{2ab}{a+b}<\sqrt{ab}<\dfrac{a+b}{2}$ が図からも読み取れる．）