差をとっていくつかの式の大小を比べる（A）

例えば $a=0.3,\ b=0.7$ とすると $2ab=0.42$，$a^2+b^2=0.58$ であるから \[ a<2ab<\frac{1}{2}<a^2+b^2<b \] と予想できる．これを証明する．$b=1-a$ と $0<a<b$ より $0<a<\dfrac{1}{2}<b<1$ である． 以下，$a+b=1$（すなわち $(a+b)^2=1$）を用いて差を変形する．また，$a<b$ であるから $b-a>0$，$(a-b)^2>0$ $2ab-a=a(2b-1)=a(b-a)>0$ \quad（$2b-1=2b-(a+b)=b-a$） $\dfrac{1}{2}-2ab=\dfrac{(a+b)^2-4ab}{2}=\dfrac{(a-b)^2}{2}>0$ $a^2+b^2-\dfrac{1}{2}=\dfrac{2(a^2+b^2)-(a+b)^2}{2}=\dfrac{(a-b)^2}{2}>0$ $b-(a^2+b^2)=b(1-b)-a^2=ab-a^2=a(b-a)>0$ よって $a<2ab<\dfrac{1}{2}<a^2+b^2<b$（数直線上の位置は下図のようになる）