相加・相乗平均で最小値を求める（B）

(1) $2x>0,\ \dfrac{8}{x}>0$ であるから \[ 2x+\frac{8}{x}\geqq 2\sqrt{2x\cdot\frac{8}{x}}=8 \] 等号は $2x=\dfrac{8}{x}$，$x>0$ より $x=2$ のとき．よって最小値 $8$（$x=2$） (2) $x-2>0$ であるから \[ x+\frac{9}{x-2}=(x-2)+\frac{9}{x-2}+2\geqq 2\sqrt{9}+2=8 \] 等号は $x-2=\dfrac{9}{x-2}$，すなわち $(x-2)^2=9$，$x-2>0$ より $x-2=3$，$x=5$ のとき．よって最小値 $8$（$x=5$）．グラフは下図のようになる． (3) $x>0,\ 2y>0$ であるから，相加平均と相乗平均の関係より \[ 8=x+2y\geqq 2\sqrt{2xy} \] よって $\sqrt{2xy}\leqq 4$ より $xy\leqq 8$．等号は $x=2y$ のときで，$x+2y=8$ と合わせて $x=4,\ y=2$． よって最大値 $8$（$x=4,\ y=2$）