相加・相乗平均で最小値を求める（A）

(1) $x>0,\ \dfrac{9}{x}>0$ であるから \[ x+\frac{9}{x}\geqq 2\sqrt{x\cdot\frac{9}{x}}=6 \] 等号は $x=\dfrac{9}{x}$ かつ $x>0$，すなわち $x=3$ のとき．よって最小値 $6$（$x=3$） (2) $x-1>0$ であるから \[ x+\frac{4}{x-1}=(x-1)+\frac{4}{x-1}+1\geqq 2\sqrt{(x-1)\cdot\frac{4}{x-1}}+1=5 \] 等号は $x-1=\dfrac{4}{x-1}$，すなわち $(x-1)^2=4$，$x-1>0$ より $x=3$ のとき．よって最小値 $5$（$x=3$）．グラフは下図のようになる． (3) $x>0$ のとき，分母・分子を $x$ で割って \[ \frac{x}{x^2+4}=\frac{1}{x+\frac{4}{x}} \] $x+\dfrac{4}{x}\geqq 2\sqrt{4}=4$（等号は $x=2$）であるから $\dfrac{x}{x^2+4}\leqq\dfrac{1}{4}$． よって最大値 $\dfrac{1}{4}$（$x=2$）