相加平均・相乗平均で不等式を証明する（B）

(1) $\dfrac{b}{a}>0,\ \dfrac{a}{b}>0$ であるから，相加平均と相乗平均の関係より \[ \frac{b}{a}+\frac{a}{b}\geqq 2\sqrt{\frac{b}{a}\cdot\frac{a}{b}}=2 \] 等号は $\dfrac{b}{a}=\dfrac{a}{b}$，すなわち $a=b$ のとき． (2) (1) より $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\geqq 2$ であるから \[ (a+2b)\left(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}\right)=1+\frac{2a}{b}+\frac{2b}{a}+4=5+2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\geqq 5+2\cdot 2=9 \] 等号は $a=b$ のとき． (3) $ab>0$ であるから，相加平均と相乗平均の関係より $ab+\dfrac{1}{ab}\geqq 2\sqrt{ab\cdot\dfrac{1}{ab}}=2$ よって \[ \left(2a+\frac{3}{b}\right)\left(3b+\frac{2}{a}\right)=6ab+4+9+\frac{6}{ab}=6\left(ab+\frac{1}{ab}\right)+13\geqq 6\cdot 2+13=25 \] 等号は $ab=\dfrac{1}{ab}$，すなわち $ab=1$ のとき． \hfill 〔証明終〕