相加平均・相乗平均で不等式を証明する（A）

$x>0,\ y>0$ のとき $x+y\geqq 2\sqrt{xy}$（等号は $x=y$ のとき）を用いる． (1) $a>0,\ \dfrac{1}{a}>0$ であるから $a+\dfrac{1}{a}\geqq 2\sqrt{a\cdot\dfrac{1}{a}}=2$．等号は $a=\dfrac{1}{a}$ かつ $a>0$，すなわち $a=1$ のとき． (2) $\dfrac{b}{a}>0$，$\dfrac{a}{b}>0$ であるから \[ (a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=2+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\geqq 2+2\sqrt{\frac{b}{a}\cdot\frac{a}{b}}=4 \] 等号は $\dfrac{b}{a}=\dfrac{a}{b}$，すなわち $a=b$ のとき． (3) $ab>0$，$\dfrac{4}{ab}>0$ であるから \[ \left(a+\frac{4}{b}\right)\left(b+\frac{1}{a}\right)=ab+1+4+\frac{4}{ab}=ab+\frac{4}{ab}+5\geqq 2\sqrt{4}+5=9 \] 等号は $ab=\dfrac{4}{ab}$，すなわち $ab=2$ のとき． \hfill 〔証明終〕