前の小問を利用して不等式を拡張する（B）

(1) \[ (a^2+b^2)(x^2+y^2)-(ax+by)^2=a^2y^2+b^2x^2-2abxy=(ay-bx)^2\geqq 0 \] (2) \[ (\text{左辺})=a^2x^2+a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2+b^2y^2+b^2z^2+c^2x^2+c^2y^2+c^2z^2 \] \[ (\text{右辺})=a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2+2abxy+2bcyz+2cazx \] であるから \[ \begin{aligned} (\text{左辺})-(\text{右辺})&=(a^2y^2-2abxy+b^2x^2)+(b^2z^2-2bcyz+c^2y^2)+(c^2x^2-2cazx+a^2z^2)\\ &=(ay-bx)^2+(bz-cy)^2+(cx-az)^2\geqq 0 \end{aligned} \] よって $(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)\geqq(ax+by+cz)^2$ 等号は $ay=bx,\ bz=cy,\ cx=az$ のとき，すなわち $x:y:z=a:b:c$（$a,\ b,\ c$ が $0$ でないとき）． \hfill 〔証明終〕 (3) (2) で $a=1,\ b=2,\ c=3$ とすると \[ (1+4+9)(x^2+y^2+z^2)\geqq(x+2y+3z)^2=196 \] よって $x^2+y^2+z^2\geqq 14$．等号は $x:y:z=1:2:3$ のときで，$x=t,\ y=2t,\ z=3t$ を条件に代入すると $14t=14$ より $t=1$． したがって，$x=1,\ y=2,\ z=3$ のとき最小値 $14$