前の小問を利用して不等式を拡張する（A）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/24
🔁 類題: 前の小問を利用して不等式を拡張する（B） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
\begin{enumerate}
\item[(1)] $0<a<1,\ 0<b<1$ のとき，$ab+1>a+b$ を証明せよ．
\item[(2)] $0<a<1,\ 0<b<1,\ 0<c<1$ のとき，(1) を利用して $abc+2>a+b+c$ を証明せよ．
\end{enumerate}
(1)
\[ (ab+1)-(a+b)=(1-a)(1-b) \]
$1-a>0$，$1-b>0$ であるから正．よって $ab+1>a+b$
(2) $0<ab<1$，$0<c<1$ であるから，(1) で $a$ を $ab$，$b$ を $c$ におき換えて
\[ abc+1>ab+c \]
さらに (1) より $ab>a+b-1$ であるから
\[ abc+1>ab+c>(a+b-1)+c \]
よって $abc+2>a+b+c$
\hfill 〔証明終〕
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