三角不等式 |a|+|b|≧|a+b|（B）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/24
🔁 類題: 三角不等式 |a|+|b|≧|a+b|（A） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
次の不等式を証明せよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $|a-b|\geqq|a|-|b|$
\item[(2)] $|a+b+c|\leqq|a|+|b|+|c|$
\end{enumerate}
(1) $|a|-|b|<0$ のときは，$|a-b|\geqq 0>|a|-|b|$ であるから成り立つ．
$|a|-|b|\geqq 0$ のとき，両辺とも $0$ 以上であるから
\[ |a-b|^2-(|a|-|b|)^2=a^2-2ab+b^2-(a^2-2|a||b|+b^2)=2(|ab|-ab)\geqq 0 \]
よって $|a-b|\geqq|a|-|b|$
(2) まず $|x+y|\leqq|x|+|y|$ が成り立つ（$(|x|+|y|)^2-|x+y|^2=2(|xy|-xy)\geqq 0$ による）．これを 2 回用いて
\[ |a+b+c|=|(a+b)+c|\leqq|a+b|+|c|\leqq|a|+|b|+|c| \]
\hfill 〔証明終〕
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