三角不等式 |a|+|b|≧|a+b|（A）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/24
🔁 類題: 三角不等式 |a|+|b|≧|a+b|（B） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
次の不等式を証明せよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $|a|+|b|\geqq|a+b|$
\item[(2)] $|a|-|b|\leqq|a+b|$
\end{enumerate}
(1) 両辺とも $0$ 以上であるから，平方の差を考える．
\[ (|a|+|b|)^2-|a+b|^2=a^2+2|a||b|+b^2-(a^2+2ab+b^2)=2(|ab|-ab)\geqq 0 \]
（$|ab|\geqq ab$ を用いた．）よって $|a|+|b|\geqq|a+b|$．等号は $ab\geqq 0$ のとき．
(2) (1) の不等式で，$a$ を $a+b$，$b$ を $-b$ におき換えると
\[ |a+b|+|-b|\geqq|(a+b)+(-b)| \quad\text{すなわち}\quad |a+b|+|b|\geqq|a| \]
よって $|a|-|b|\leqq|a+b|$
\hfill 〔証明終〕
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