2乗して比べる根号の不等式（B）

いずれも両辺が正であるから，平方の差を考える． (1) \[ \left(\sqrt{2(a+b)}\right)^2-(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2=2a+2b-(a+2\sqrt{ab}+b)=a-2\sqrt{ab}+b=(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\geqq 0 \] よって $\sqrt{2(a+b)}\geqq\sqrt{a}+\sqrt{b}$．等号は $\sqrt{a}=\sqrt{b}$，すなわち $a=b$ のとき． (2) \[ \frac{a^2+b^2}{2}-\left(\frac{a+b}{2}\right)^2=\frac{2a^2+2b^2-(a^2+2ab+b^2)}{4}=\frac{(a-b)^2}{4}\geqq 0 \] よって $\dfrac{a+b}{2}\leqq\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}$．等号は $a=b$ のとき． \hfill 〔証明終〕