2乗して比べる根号の不等式（A）

$A\geqq 0,\ B\geqq 0$ のとき，$A>B$ と $A^2>B^2$ が同値である（$\geqq$ も同様）ことを用いる． (1) 両辺とも正であり \[ (\sqrt{a}+\sqrt{b})^2-(\sqrt{a+b})^2=a+2\sqrt{ab}+b-(a+b)=2\sqrt{ab}>0 \] よって $\sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{a+b}$ (2) $a\geqq b$ より $\sqrt{a}\geqq\sqrt{b}$ であるから，両辺とも $0$ 以上である． \[ (\sqrt{a-b})^2-(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2=(a-b)-(a-2\sqrt{ab}+b)=2\sqrt{ab}-2b=2\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})\geqq 0 \] （$\sqrt{b}\geqq 0$，$\sqrt{a}-\sqrt{b}\geqq 0$ であるから．） よって $\sqrt{a}-\sqrt{b}\leqq\sqrt{a-b}$ \hfill 〔証明終〕