平方完成で不等式を証明する（等号条件）（B）

(1) $x$ について平方完成すると \[ x^2-2xy+2y^2+2y+1=(x-y)^2+y^2+2y+1=(x-y)^2+(y+1)^2\geqq 0 \] 等号が成り立つのは $x-y=0$ かつ $y+1=0$，すなわち $x=y=-1$ のとき． (2) \[ 2\{(a^2+b^2+1)-(ab+a+b)\}=(a^2-2ab+b^2)+(a^2-2a+1)+(b^2-2b+1) \] \[ =(a-b)^2+(a-1)^2+(b-1)^2\geqq 0 \] よって $a^2+b^2+1\geqq ab+a+b$．等号が成り立つのは $a-b=0$ かつ $a-1=0$ かつ $b-1=0$，すなわち $a=b=1$ のとき． \hfill 〔証明終〕