平方完成で不等式を証明する（等号条件）（A）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/24
🔁 類題: 平方完成で不等式を証明する（等号条件）（B） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
次の不等式を証明せよ．また，等号が成り立つのはどのようなときか．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $x^2+5y^2\geqq 4xy$
\item[(2)] $a^2+b^2+c^2\geqq ab+bc+ca$
\end{enumerate}
(1)
\[ x^2+5y^2-4xy=(x-2y)^2+y^2\geqq 0 \]
よって $x^2+5y^2\geqq 4xy$．等号が成り立つのは $x-2y=0$ かつ $y=0$，すなわち $x=y=0$ のとき．
(2)
\[ 2\{(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ca)\}=(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geqq 0 \]
よって $a^2+b^2+c^2\geqq ab+bc+ca$．等号が成り立つのは $a-b=b-c=c-a=0$，すなわち $a=b=c$ のとき．
\hfill 〔証明終〕
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