差をとって不等式を証明する（B）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/24
🔁 類題: 差をとって不等式を証明する（A） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
次の不等式を証明せよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $a>1,\ b>1$ のとき \quad $ab+1>a+b$
\item[(2)] $a>b>0$ のとき \quad $\dfrac{a}{b}>\dfrac{a+1}{b+1}$
\end{enumerate}
(1)
\[ (ab+1)-(a+b)=ab-a-b+1=(a-1)(b-1) \]
$a-1>0$，$b-1>0$ であるから $(a-1)(b-1)>0$．よって $ab+1>a+b$
(2)
\[ \frac{a}{b}-\frac{a+1}{b+1}=\frac{a(b+1)-b(a+1)}{b(b+1)}=\frac{a-b}{b(b+1)} \]
$a-b>0$，$b>0$，$b+1>0$ であるから，これは正である．よって $\dfrac{a}{b}>\dfrac{a+1}{b+1}$
\hfill 〔証明終〕
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