差をとって不等式を証明する（A）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/24
🔁 類題: 差をとって不等式を証明する（B） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
次の不等式を証明せよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $a>b,\ c>d$ のとき \quad $ac+bd>ad+bc$
\item[(2)] $a>0,\ b>0$ のとき \quad $a^3+b^3\geqq a^2b+ab^2$ \quad また，等号が成り立つのはどのようなときか．
\end{enumerate}
(1)
\[ (ac+bd)-(ad+bc)=a(c-d)-b(c-d)=(a-b)(c-d) \]
$a-b>0$，$c-d>0$ であるから $(a-b)(c-d)>0$．よって $ac+bd>ad+bc$
(2)
\[ (a^3+b^3)-(a^2b+ab^2)=a^2(a-b)-b^2(a-b)=(a-b)(a^2-b^2)=(a+b)(a-b)^2 \]
$a+b>0$，$(a-b)^2\geqq 0$ であるから $(a+b)(a-b)^2\geqq 0$．よって $a^3+b^3\geqq a^2b+ab^2$
等号が成り立つのは $a-b=0$，すなわち $a=b$ のとき．
\hfill 〔証明終〕
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