a, b, c の少なくとも1つが1であることの証明（B）
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/24
🔁 類題: a, b, c の少なくとも1つが1であることの証明（A） （★★★☆☆☆☆（共通テスト））
問題
\begin{enumerate}
\item[(1)] $abc=1$，$a+b+c=ab+bc+ca$ のとき，$a,\ b,\ c$ のうち少なくとも 1 つは $1$ であることを証明せよ．
\item[(2)] 実数 $a,\ b,\ c$ が $a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca$ を満たすとき，$a=b=c$ であることを証明せよ．
\end{enumerate}
(1)
\[ (a-1)(b-1)(c-1)=abc-(ab+bc+ca)+(a+b+c)-1 \]
条件より $abc=1$，$a+b+c=ab+bc+ca$ であるから，右辺は $1-1=0$．よって $(a-1)(b-1)(c-1)=0$ となり，$a,\ b,\ c$ のうち少なくとも 1 つは 1 である．
(2) 条件式から $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0$．両辺を 2 倍して整理すると
\[ (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0 \]
$a,\ b,\ c$ は実数であるから $a-b=0,\ b-c=0,\ c-a=0$．よって $a=b=c$
\hfill 〔証明終〕
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