a, b, c の少なくとも1つが1であることの証明（A）
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/24
🔁 類題: a, b, c の少なくとも1つが1であることの証明（B） （★★★☆☆☆☆（共通テスト））
問題
\begin{enumerate}
\item[(1)] $a+b+c=1$，$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1$ のとき，$a,\ b,\ c$ のうち少なくとも 1 つは $1$ であることを証明せよ．
\item[(2)] 実数 $a,\ b,\ c$ が $a^2+b^2+c^2-2a+4b-6c+14=0$ を満たすとき，$a,\ b,\ c$ の値を求めよ．
\end{enumerate}
(1) 「$a,\ b,\ c$ のうち少なくとも 1 つは 1」であることは $(a-1)(b-1)(c-1)=0$ と同値であるから，これを示せばよい．
$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1$ の両辺に $abc$ を掛けて $ab+bc+ca=abc$．よって
\[ (a-1)(b-1)(c-1)=abc-(ab+bc+ca)+(a+b+c)-1=abc-abc+1-1=0 \]
したがって，$a,\ b,\ c$ のうち少なくとも 1 つは 1 である．
\hfill 〔証明終〕
(2) 左辺を平方完成すると
\[ (a-1)^2+(b+2)^2+(c-3)^2-1-4-9+14=(a-1)^2+(b+2)^2+(c-3)^2 \]
よって $(a-1)^2+(b+2)^2+(c-3)^2=0$．$a,\ b,\ c$ は実数であるから，3 つの平方はすべて $0$ で
\[ a=1,\quad b=-2,\quad c=3 \]
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