比例式 =k とおいて式の値を求める（A）

$\dfrac{x+y}{3}=\dfrac{y+z}{4}=\dfrac{z+x}{5}=k$ とおくと，$k\neq 0$ で \[ x+y=3k,\quad y+z=4k,\quad z+x=5k \] 辺々を加えると $2(x+y+z)=12k$ より $x+y+z=6k$．これから \[ z=6k-3k=3k,\quad x=6k-4k=2k,\quad y=6k-5k=k \] よって \[ \frac{xy+yz+zx}{x^2+y^2+z^2}=\frac{2k^2+3k^2+6k^2}{4k^2+k^2+9k^2}=\frac{11k^2}{14k^2}=\frac{11}{14} \] したがって，求める値は $\dfrac{11}{14}$