a/b=c/d を k とおく証明（B）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/24
🔁 類題: a/b=c/d を k とおく証明（A） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
$\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}$ のとき，次の等式が成り立つことを証明せよ．ただし，分母は $0$ でないとする．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $\dfrac{x+y+z}{a+b+c}=\dfrac{x}{a}$
\item[(2)] $(x^2+y^2+z^2)(a^2+b^2+c^2)=(ax+by+cz)^2$
\end{enumerate}
$\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}=k$ とおくと，$x=ak,\ y=bk,\ z=ck$
(1)
\[ \frac{x+y+z}{a+b+c}=\frac{(a+b+c)k}{a+b+c}=k=\frac{x}{a} \]
(2)
\[ (\text{左辺})=k^2(a^2+b^2+c^2)\cdot(a^2+b^2+c^2)=k^2(a^2+b^2+c^2)^2 \]
\[ (\text{右辺})=\left(a^2k+b^2k+c^2k\right)^2=k^2(a^2+b^2+c^2)^2 \]
よって $(\text{左辺})=(\text{右辺})$
\hfill 〔証明終〕
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