条件式を利用する等式の証明（A）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/24
🔁 類題: 条件式を利用する等式の証明（B） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
$a+b+c=0$ のとき，次の等式が成り立つことを証明せよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $a^2-bc=b^2-ca$
\item[(2)] $a^3+b^3+c^3=3abc$
\end{enumerate}
$a+b+c=0$ より $c=-(a+b)$
(1)
\[ (\text{左辺})=a^2+b(a+b)=a^2+ab+b^2,\qquad (\text{右辺})=b^2+a(a+b)=a^2+ab+b^2 \]
よって $(\text{左辺})=(\text{右辺})$
(2)
\[ a^3+b^3+c^3-3abc=a^3+b^3-(a+b)^3+3ab(a+b) \]
\[ =a^3+b^3-(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)+3a^2b+3ab^2=0 \]
よって $a^3+b^3+c^3=3abc$
\hfill 〔証明終〕
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