関数方程式を満たす多項式を求める（B）

$f(x)$ が定数 $d$ のとき，$d=4d+2x-3$ となり，$x$ の係数が一致しないので不適． $f(x)$ の次数を $n\ (\geqq 1)$，最高次の係数を $p\ (\neq 0)$ とする．$n\geqq 2$ のとき，両辺の $x^n$ の係数を比較すると $2^np=4p$ であるから $2^n=4$ より $n=2$． (i) $n=1$ のとき，$f(x)=px+q$ とおくと $2px+q=(4p+2)x+4q-3$ より $2p=4p+2$，$q=4q-3$．よって $p=-1,\ q=1$ で $f(x)=-x+1$ となるが，$f(1)=0\neq 2$ となり不適． (ii) $n=2$ のとき，$f(x)=ax^2+bx+c\ (a\neq 0)$ とおくと \[ 4ax^2+2bx+c=4ax^2+(4b+2)x+(4c-3) \] $x^2$ の係数は常に一致し，$2b=4b+2$，$c=4c-3$ より $b=-1,\ c=1$． $f(1)=a-1+1=2$ より $a=2$ したがって $f(x)=2x^2-x+1$