関数方程式を満たす多項式を求める（A）

$f(x)$ が定数 $d$ のとき，$d=dx^3-2x^4+2x^2$ となり，$x^4$ の係数が一致しないので不適． $f(x)$ の次数を $n$ $(n\geqq 1)$，最高次の係数を $p\ (\neq 0)$ とする．左辺の次数は $2n$，右辺の $x^3f(x+1)$ の次数は $n+3$ である． (i) $n=1$ のとき，$f(x)=px+q$ とおくと \[ \text{左辺}=px^2+q,\qquad \text{右辺}=x^3(px+p+q)-2x^4+2x^2=(p-2)x^4+(p+q)x^3+2x^2 \] $x^4$ の係数から $p=2$，$x^3$ の係数から $p+q=0$ より $q=-2$．一方，定数項を比較すると $q=0$ となり矛盾する．よって不適． (ii) $n\geqq 2$ のとき，右辺の次数は $n+3\ (\geqq 5)$ であり，$-2x^4+2x^2$ と打ち消し合わない．よって $2n=n+3$ より $n=3$ $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\ (a\neq 0)$ とおいて代入し，両辺の係数を比較すると \[ x^6:\ a=a,\quad x^5:\ 0=3a+b,\quad x^4:\ b=3a+2b+c-2,\quad x^3:\ 0=a+b+c+d \] \[ x^2:\ c=2,\quad x^0:\ d=0 \] $c=2$，$d=0$ と $b=-3a$ を $x^4$ の式に代入すると $-3a=3a-6a+2-2$ となり，これは常に成り立つ．$x^3$ の式から $a-3a+2=0$ より $a=1$，よって $b=-3$． したがって $f(x)=x^3-3x^2+2x$