k の値によらず成り立つ条件と 2 文字の恒等式（B）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/24
🔁 類題: k の値によらず成り立つ条件と 2 文字の恒等式（A） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
\begin{enumerate}
\item[(1)] 等式 $(2k-1)x+(k+3)y-7k=0$ が $k$ のどのような値に対しても成り立つように，$x,\ y$ の値を定めよ．
\item[(2)] 等式 $a(x+2y)^2+b(x+2y)(x-y)+c(x-y)^2=4x^2+4xy+y^2$ が $x,\ y$ についての恒等式となるように，定数 $a,\ b,\ c$ の値を定めよ．
\end{enumerate}
(1) 左辺を $k$ について整理すると
\[ (2x+y-7)k+(-x+3y)=0 \]
これが $k$ についての恒等式となるための条件は
\[ 2x+y-7=0,\quad -x+3y=0 \]
第 2 式より $x=3y$．第 1 式に代入して $7y=7$ より $y=1$，$x=3$
(2) 左辺を展開して整理すると
\[ (a+b+c)x^2+(4a+b-2c)xy+(4a-2b+c)y^2 \]
係数を比較して
\[ a+b+c=4,\quad 4a+b-2c=4,\quad 4a-2b+c=1 \]
第 1 式から $c=4-a-b$ を他の 2 式に代入すると
\[ 6a+3b=12,\quad 3a-3b=-3 \]
これを解いて $a=1,\ b=2$，このとき $c=1$
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