k の値によらず成り立つ条件と 2 文字の恒等式（A）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/24
🔁 類題: k の値によらず成り立つ条件と 2 文字の恒等式（B） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
\begin{enumerate}
\item[(1)] 等式 $(k+2)x-(2k-1)y-3k-1=0$ が $k$ のどのような値に対しても成り立つように，$x,\ y$ の値を定めよ．
\item[(2)] 等式 $a(x+y)^2+b(x-y)^2=3x^2+2xy+3y^2$ が $x,\ y$ についての恒等式となるように，定数 $a,\ b$ の値を定めよ．
\end{enumerate}
(1) 左辺を $k$ について整理すると
\[ (x-2y-3)k+(2x+y-1)=0 \]
これが $k$ についての恒等式となるための条件は
\[ x-2y-3=0,\quad 2x+y-1=0 \]
これを解いて $x=1,\ y=-1$
(2) 左辺を展開して整理すると
\[ (a+b)x^2+2(a-b)xy+(a+b)y^2 \]
両辺の係数を比較して $a+b=3,\ 2(a-b)=2$．よって $a=2,\ b=1$
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