分数式の恒等式（部分分数分解）（B）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/24
🔁 類題: 分数式の恒等式（部分分数分解）（A） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
次の等式が $x$ についての恒等式となるように，定数 $a,\ b,\ c$ の値を定めよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $\dfrac{x+7}{x^2-x-6}=\dfrac{a}{x-3}+\dfrac{b}{x+2}$
\item[(2)] $\dfrac{3x^2+1}{(x-1)(x^2+1)}=\dfrac{a}{x-1}+\dfrac{bx+c}{x^2+1}$
\end{enumerate}
(1) $x^2-x-6=(x-3)(x+2)$ であるから，両辺に $(x-3)(x+2)$ を掛けて
\[ x+7=a(x+2)+b(x-3) \]
$x=3$ を代入して $10=5a$，$x=-2$ を代入して $5=-5b$．よって $a=2,\ b=-1$
逆に，このとき右辺は $2(x+2)-(x-3)=x+7$ となり，恒等式である．
(2) 両辺に $(x-1)(x^2+1)$ を掛けて
\[ 3x^2+1=a(x^2+1)+(bx+c)(x-1) \]
$x=1$ を代入して $4=2a$ より $a=2$．このとき
\[ (bx+c)(x-1)=3x^2+1-2(x^2+1)=x^2-1=(x+1)(x-1) \]
よって $bx+c=x+1$ となり $b=1,\ c=1$
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